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01Objectifs
À la fin de ce module, vous saurez :
- expliquer ce qu'est la validité de construit, convergente et discriminante ;
- vérifier que les données se prêtent à une analyse factorielle (KMO, MSA, Bartlett) ;
- choisir une méthode d'extraction, un nombre de facteurs et une rotation ;
- lire la variance expliquée, les communalités et la matrice des saturations ;
- épurer une échelle et rédiger les résultats de l'AFE.
02Explication théorique
Validité de construit
Une échelle est valide si elle mesure le concept qu'elle prétend mesurer. Dans un mémoire quantitatif, on en apporte deux preuves :
- Validité convergente : les items d'un même construit sont fortement liés à un même facteur.
- Validité discriminante : les items d'un construit sont peu liés aux autres facteurs ; les construits sont distincts.
L'analyse factorielle exploratoire (AFE) en apporte une première preuve. L'analyse confirmatoire, ou le modèle de mesure PLS du module 10, la complète avec l'AVE, le critère de Fornell-Larcker et le HTMT.
Le principe
L'AFE résume les corrélations entre \(p\) items par un petit nombre \(m\) de facteurs. Chaque item est exprimé comme une combinaison des facteurs :
Les \(\lambda_{ij}\) sont les saturations (loadings) : la corrélation entre l'item \(i\) et le facteur \(j\) (en rotation orthogonale). La communalité \(h_i^2 = \sum_j \lambda_{ij}^2\) est la part de variance de l'item expliquée par l'ensemble des facteurs.
ACP ou analyse en facteurs communs ?
SPSS propose par défaut l'analyse en composantes principales (ACP), qui résume toute la variance des items. Les méthodes de factorisation en axes principaux ou du maximum de vraisemblance ne modélisent que la variance commune, ce qui correspond mieux à l'idée de variable latente (Fabrigar et al., 1999). Avec des items de bonne qualité et des communalités élevées, les deux approches donnent des structures très proches. L'ACP reste la plus répandue dans les mémoires de gestion ; c'est celle qu'utilise le cas fil rouge, en précisant ce choix dans la méthodologie.
Combien de facteurs retenir ?
- Critère de Kaiser : retenir les facteurs dont la valeur propre est supérieure à 1. Simple mais tend à surestimer le nombre de facteurs quand il y a beaucoup d'items.
- Test du coude (Cattell, 1966) : on retient les facteurs situés avant la cassure du diagramme des valeurs propres.
- Variance expliquée cumulée : au moins 60 % en sciences sociales (Hair et al., 2019).
- Analyse parallèle (Horn, 1965) : la méthode la plus rigoureuse ; on retient les facteurs dont la valeur propre dépasse celle obtenue sur des données aléatoires.
- La théorie : le nombre attendu de construits. Le critère statistique et la théorie doivent converger.
Rotation orthogonale ou oblique ?
Les facteurs bruts sont difficiles à interpréter. La rotation les fait pivoter pour que chaque item sature fortement un seul facteur.
- Varimax (orthogonale) suppose des facteurs non corrélés. Une seule matrice à lire.
- Oblimin directe (oblique) autorise les facteurs à être corrélés. SPSS fournit une matrice des types (pattern), une matrice des structures et la matrice de corrélation des composantes.
En gestion, les construits sont presque toujours corrélés : la satisfaction et la performance ne sont pas indépendantes. Tabachnick et Fidell (2019) conseillent une rotation oblique dès que les corrélations entre facteurs dépassent 0,32. Le cas fil rouge présente les deux rotations ; elles aboutissent à la même structure.
03Conditions d'application
- Taille d'échantillon : au moins 100 observations et 5 à 10 par item (module 1).
- Variables métriques : items de Likert d'au moins 5 points, traités comme quasi continus.
- Corrélations suffisantes : plusieurs corrélations supérieures à 0,30 dans la matrice.
- Factorisabilité : KMO ≥ 0,60 et test de Bartlett significatif (p < 0,05).
- Absence de multicolinéarité extrême : déterminant de la matrice de corrélation supérieur à 0,00001 (Field, 2018).
- Les items inversés sont recodés.
\(r_{ij}\) : corrélations simples ; \(a_{ij}\) : corrélations partielles. Si les items partagent une variance commune, les corrélations partielles sont faibles et le KMO tend vers 1. La MSA est le même indice calculé pour un seul item.
04Procédure pas à pas dans SPSS
Faites cette procédure dans le Labo SPSS, le simulateur gratuit de la formation : mêmes menus, mêmes boîtes de dialogue et mêmes résultats, directement dans votre navigateur. La mission 5 du Labo vous guide pas à pas sur ce module.
- .
- Placez les items dans Variables : 19 items lors de la première analyse (avec LEAD5_R, pas LEAD5).
- Caractéristiques : cochez Structure initiale, Coefficients, Déterminant, Indice KMO et test de sphéricité de Bartlett et Anti-image (pour les MSA). Poursuivre.
- Extraction : méthode Composantes principales, analyser la Matrice de corrélation, afficher la Structure factorielle sans rotation et le Diagramme des valeurs propres. Extraire : Basée sur la valeur propre supérieure à 1.
- Rotation : Varimax (ou Oblimin directe avec Delta = 0). Cochez Structure après rotation.
- Options : Exclure les observations listes ; cochez Classement des variables par taille et Supprimer les petits coefficients, valeur absolue inférieure à 0,30.
- OK. Examinez la sortie, supprimez si nécessaire l'item problématique, puis relancez l'analyse.
* AFE finale sur les 18 items retenus.
FACTOR
/VARIABLES QAI1 QAI2 QAI3 QAI5 LEAD1 LEAD2 LEAD3 LEAD4 LEAD5_R
SAT1 SAT2 SAT3 SAT4 PERF1 PERF2 PERF3 PERF4 PERF5
/PRINT INITIAL KMO AIC EXTRACTION ROTATION DET
/FORMAT BLANK(.30)
/PLOT EIGEN
/CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25)
/EXTRACTION PC
/ROTATION VARIMAX.
05Interpréter les sorties
Première analyse : 19 items
| Indice de Kaiser-Meyer-Olkin pour la mesure de la qualité d'échantillonnage | ,904 | |
|---|---|---|
| Test de sphéricité de Bartlett | Khi-carré approx. | 1895,861 |
| ddl | 171 | |
| Signification | ,000 | |
| Initiales | Extraction | |
|---|---|---|
| QAI1 | 1,000 | ,733 |
| QAI2 | 1,000 | ,773 |
| QAI3 | 1,000 | ,703 |
| QAI4 | 1,000 | ,295 |
| QAI5 | 1,000 | ,678 |
| LEAD1 | 1,000 | ,655 |
| LEAD2 | 1,000 | ,598 |
| LEAD3 | 1,000 | ,627 |
| LEAD4 | 1,000 | ,628 |
| LEAD5_R | 1,000 | ,623 |
| SAT1 | 1,000 | ,738 |
| SAT2 | 1,000 | ,670 |
| SAT3 | 1,000 | ,662 |
| SAT4 | 1,000 | ,621 |
| PERF1 | 1,000 | ,682 |
| PERF2 | 1,000 | ,703 |
| PERF3 | 1,000 | ,701 |
| PERF4 | 1,000 | ,705 |
| PERF5 | 1,000 | ,715 |
Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales.
| Composante | ||||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| QAI1 | ,231 | ,095 | ,812 | ,103 |
| QAI2 | ,162 | ,209 | ,812 | ,209 |
| QAI3 | ,132 | ,205 | ,787 | ,156 |
| QAI4 | -,099 | ,025 | ,211 | ,490 |
| QAI5 | ,192 | ,060 | ,781 | ,167 |
Extrait limité aux items de QAI ; tous les coefficients sont affichés pour la démonstration.
Lecture. La factorisabilité est excellente (KMO = 0,904). Quatre composantes ont une valeur propre supérieure à 1 et expliquent 65,8 % de la variance. Mais QAI4 pose deux problèmes : sa communalité (0,295) est inférieure à 0,50, et il ne sature pas son facteur théorique. Sa plus forte saturation (0,490) se trouve sur la composante 4, qui regroupe les items de satisfaction, alors qu'il ne sature qu'à 0,211 la composante de l'audit interne (composante 3).
Ce résultat confirme le diagnostic du module 3. QAI4 est supprimé et l'analyse est relancée sur 18 items.
Analyse finale : 18 items
| Indice de Kaiser-Meyer-Olkin pour la mesure de la qualité d'échantillonnage | ,906 | |
|---|---|---|
| Test de sphéricité de Bartlett | Khi-carré approx. | 1864,853 |
| ddl | 153 | |
| Signification | ,000 | |
KMO = 0,906 : « merveilleux » selon l'échelle de Kaiser (1974), puisqu'il dépasse 0,90. Les MSA individuelles (tableau anti-image, diagonale) vont de 0,877 à 0,930 : aucun item n'est à écarter.
Bartlett : χ²(153) = 1 864,85, p < 0,001. La matrice de corrélation n'est pas une matrice identité ; les items sont suffisamment corrélés pour être factorisés.
| Composante | Valeurs propres initiales | Sommes extraites du carré des chargements | Sommes de rotation du carré des chargements | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Total | % de la variance | % cumulé | Total | % de la variance | % cumulé | Total | % de la variance | % cumulé | |
| 1 | 7,049 | 39,159 | 39,159 | 7,049 | 39,159 | 39,159 | 3,325 | 18,473 | 18,473 |
| 2 | 2,228 | 12,378 | 51,537 | 2,228 | 12,378 | 51,537 | 3,264 | 18,131 | 36,604 |
| 3 | 1,789 | 9,938 | 61,476 | 1,789 | 9,938 | 61,476 | 2,925 | 16,248 | 52,852 |
| 4 | 1,293 | 7,183 | 68,659 | 1,293 | 7,183 | 68,659 | 2,845 | 15,807 | 68,659 |
| 5 | 0,595 | 3,303 | 71,961 | ||||||
| 6 | 0,562 | 3,124 | 75,086 | ||||||
| 7 | 0,553 | 3,072 | 78,158 | ||||||
| 8 | 0,480 | 2,667 | 80,825 | ||||||
| 9 | 0,461 | 2,561 | 83,386 | ||||||
| 10 | 0,437 | 2,427 | 85,814 | ||||||
| 11 | 0,426 | 2,368 | 88,181 | ||||||
| 12 | 0,395 | 2,196 | 90,377 | ||||||
| 13 | 0,336 | 1,867 | 92,244 | ||||||
| 14 | 0,306 | 1,699 | 93,944 | ||||||
| 15 | 0,299 | 1,659 | 95,603 | ||||||
| 16 | 0,290 | 1,610 | 97,213 | ||||||
| 17 | 0,266 | 1,478 | 98,691 | ||||||
| 18 | 0,236 | 1,309 | 100,000 | ||||||
Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales.
Lecture. Les quatre premières composantes ont une valeur propre supérieure à 1 (7,049 ; 2,228 ; 1,789 ; 1,293). La cinquième tombe à 0,595 : la cassure est nette, ce que confirme le diagramme des valeurs propres. Ensemble, elles expliquent 68,66 % de la variance, au-dessus des 60 % recommandés.
Les trois derniers blocs de colonnes ont le même total cumulé : la rotation redistribue la variance entre les facteurs (18,5 %, 18,1 %, 16,2 %, 15,8 %) sans changer la variance totale expliquée.
| Initiales | Extraction | |
|---|---|---|
| QAI1 | 1,000 | ,734 |
| QAI2 | 1,000 | ,780 |
| QAI3 | 1,000 | ,701 |
| QAI5 | 1,000 | ,687 |
| LEAD1 | 1,000 | ,660 |
| LEAD2 | 1,000 | ,599 |
| LEAD3 | 1,000 | ,632 |
| LEAD4 | 1,000 | ,629 |
| LEAD5_R | 1,000 | ,615 |
| SAT1 | 1,000 | ,745 |
| SAT2 | 1,000 | ,659 |
| SAT3 | 1,000 | ,711 |
| SAT4 | 1,000 | ,673 |
| PERF1 | 1,000 | ,690 |
| PERF2 | 1,000 | ,710 |
| PERF3 | 1,000 | ,701 |
| PERF4 | 1,000 | ,703 |
| PERF5 | 1,000 | ,730 |
Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales.
Toutes les communalités dépassent 0,50 (de 0,599 pour LEAD2 à 0,780 pour QAI2) : chaque item est bien représenté par la solution à quatre facteurs.
| Composante | ||||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| QAI1 | ,815 | |||
| QAI2 | ,822 | |||
| QAI3 | ,790 | |||
| QAI5 | ,791 | |||
| LEAD1 | ,790 | |||
| LEAD2 | ,715 | |||
| LEAD3 | ,761 | |||
| LEAD4 | ,763 | |||
| LEAD5_R | ,764 | |||
| SAT1 | ,770 | |||
| SAT2 | ,729 | |||
| SAT3 | ,778 | |||
| SAT4 | ,767 | |||
| PERF1 | ,753 | |||
| PERF2 | ,764 | ,306 | ||
| PERF3 | ,713 | ,378 | ||
| PERF4 | ,772 | |||
| PERF5 | ,824 | |||
Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales. Méthode de rotation : Varimax avec normalisation Kaiser.
Option « Supprimer les petits coefficients » activée : les valeurs absolues inférieures à ,30 ne sont pas affichées.
Lecture. On nomme chaque composante d'après les items qui la saturent :
Composante 1 = PERF (0,713 à 0,824) · Composante 2 = LEAD (0,715 à 0,790) · Composante 3 = QAI (0,790 à 0,822) · Composante 4 = SAT (0,729 à 0,778).
Chaque item sature fortement son facteur théorique (validité convergente) et les saturations croisées restent inférieures à 0,40 (validité discriminante). La plus forte saturation croisée concerne PERF3 sur la satisfaction (0,378), mais l'écart avec sa saturation principale (0,713) dépasse largement 0,20.
Avec une rotation oblique
| Composante | ||||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| QAI1 | ,853 | |||
| QAI2 | ,847 | |||
| QAI3 | ,823 | |||
| QAI5 | ,829 | |||
| LEAD1 | ,808 | |||
| LEAD2 | ,701 | |||
| LEAD3 | ,768 | |||
| LEAD4 | ,771 | |||
| LEAD5_R | ,779 | |||
| SAT1 | ,801 | |||
| SAT2 | ,754 | |||
| SAT3 | ,819 | |||
| SAT4 | ,817 | |||
| PERF1 | ,760 | |||
| PERF2 | ,767 | |||
| PERF3 | ,688 | |||
| PERF4 | ,812 | |||
| PERF5 | ,890 | |||
Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales. Méthode de rotation : Oblimin avec normalisation Kaiser.
| Composante | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1,000 | ,278 | ,401 | ,496 |
| 2 | ,278 | 1,000 | ,305 | ,350 |
| 3 | ,401 | ,305 | 1,000 | ,384 |
| 4 | ,496 | ,350 | ,384 | 1,000 |
Lecture. La matrice des types retrouve exactement les mêmes regroupements, avec des saturations principales de 0,688 à 0,890 et des saturations croisées toutes inférieures à 0,30. Les corrélations entre composantes vont de 0,28 à 0,50 ; plusieurs dépassent 0,32. Une rotation oblique est donc justifiée (Tabachnick & Fidell, 2019). Les deux rotations concordent : la structure en quatre facteurs est robuste.
Unidimensionnalité de chaque échelle
Beaucoup de jurys attendent aussi une ACP par construit, qui vérifie qu'un seul facteur émerge de chaque échelle :
| Construit | KMO | Bartlett p | Facteurs (λ > 1) | Variance expliquée | Saturations |
|---|---|---|---|---|---|
| Qualité de l'audit interne | 0,827 | < 0,001 | 1 | 72,0 % | 0,824 – 0,882 |
| Leadership | 0,860 | < 0,001 | 1 | 62,4 % | 0,772 – 0,807 |
| Satisfaction des employés | 0,818 | < 0,001 | 1 | 69,7 % | 0,814 – 0,858 |
| Performance organisationnelle | 0,870 | < 0,001 | 1 | 68,3 % | 0,813 – 0,844 |
Chaque échelle est unidimensionnelle : une seule valeur propre supérieure à 1, plus de 60 % de variance expliquée et des saturations supérieures à 0,77.
06Seuils de référence
| Indicateur | Seuil | Source |
|---|---|---|
| KMO | < 0,50 inacceptable ; 0,50 misérable ; 0,60 médiocre ; 0,70 moyen ; 0,80 méritoire ; ≥ 0,90 merveilleux | Kaiser (1974) |
| MSA par item | ≥ 0,50, sinon supprimer l'item | Hair et al. (2019) |
| Test de Bartlett | p < 0,05 | Bartlett (1954) |
| Valeur propre | > 1 | Kaiser (1960) |
| Variance cumulée | ≥ 60 % | Hair et al. (2019) |
| Communalité | ≥ 0,50 souhaitable ; < 0,40 problématique | Hair et al. (2019) ; Costello & Osborne (2005) |
| Saturation principale | ≥ 0,50 pratiquement significative ; ≥ 0,70 structure bien définie ; seuil de significativité ≈ 0,40 pour N = 200 | Hair et al. (2019) |
| Saturation croisée | < 0,40 et écart ≥ 0,20 avec la saturation principale | Costello & Osborne (2005) |
| Corrélation entre facteurs | > 0,32 : préférer une rotation oblique | Tabachnick & Fidell (2019) |
07Erreurs fréquentes
- Lancer l'AFE avec un item inversé non recodé : il sature négativement et brouille la structure.
- Supprimer plusieurs items à la fois. On retire un item, on relance, on réexamine : la suppression d'un item modifie toute la solution.
- Lire la matrice non tournée au lieu de la matrice après rotation.
- Lire la matrice des structures au lieu de la matrice des types avec Oblimin : c'est la matrice des types qui indique la contribution propre de chaque facteur.
- Accepter un facteur à un ou deux items : un facteur stable compte au moins trois items (Costello & Osborne, 2005).
- Laisser les données dicter la théorie : si un item sature un facteur inattendu, on cherche une explication de fond avant de renommer les construits.
08Exemple de rédaction pour le mémoire
La validité de construit a été examinée par une analyse en composantes principales avec rotation Varimax sur les 19 items. Les données se prêtaient à la factorisation (KMO = 0,90 ; test de Bartlett significatif, p < 0,001). L'item QAI4 présentait une communalité faible (0,30) et saturait principalement un facteur autre que son construit théorique ; il a été supprimé.
L'analyse finale sur 18 items (KMO = 0,91 ; χ²(153) = 1 864,85 ; p < 0,001) fait émerger quatre facteurs de valeur propre supérieure à 1, qui expliquent 68,66 % de la variance totale. Chaque item sature son facteur théorique (saturations comprises entre 0,71 et 0,82), sans saturation croisée supérieure à 0,40, ce qui soutient la validité convergente et discriminante des échelles. Une rotation oblique (Oblimin) conduit à la même structure.
09Cas pratique
Exercice 1 — Reproduire l'AFE
Lancez l'AFE finale sur les 18 items avec la syntaxe ci-dessus. Combien de facteurs obtenez-vous, et quelle variance cumulée ?
Afficher la solution
4 facteurs, 68,659 % de variance cumulée. L'ordre des composantes peut différer légèrement si vous cochez « Classement des variables par taille », mais les regroupements sont identiques.
Exercice 2 — Interpréter un cas difficile
Dans une autre étude, un item sature 0,52 sur le facteur A et 0,46 sur le facteur B. Que faites-vous ?
Afficher la solution
La saturation croisée (0,46) dépasse 0,40 et l'écart avec la saturation principale n'est que de 0,06, bien en deçà de 0,20. L'item est ambigu : il mesure les deux construits. On le supprime, on relance l'AFE, et l'on discute sa formulation dans le mémoire.
Exercice 3 — Communalité
Calculez la communalité de PERF5 à partir de ses saturations après rotation (0,824 ; 0,157 ; 0,133 ; 0,097).
Afficher la solution
\(h^2 = 0{,}824^2 + 0{,}157^2 + 0{,}133^2 + 0{,}097^2 = 0{,}679 + 0{,}025 + 0{,}018 + 0{,}009 = 0{,}730\), valeur affichée dans le tableau « Qualité de représentation ».