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01Objectifs
À la fin de ce module, vous saurez :
- tester la normalité et relativiser les tests de Kolmogorov-Smirnov et de Shapiro-Wilk sur de grands échantillons ;
- interpréter l'asymétrie, l'aplatissement et leurs scores z ;
- vérifier l'homogénéité des variances avec le test de Levene ;
- contrôler la linéarité et l'homoscédasticité ;
- diagnostiquer la multicolinéarité avec le VIF, la tolérance et l'indice de condition.
02Explication théorique
Pourquoi ces conditions ?
Les tests t, l'ANOVA, la corrélation de Pearson et la régression sont dits paramétriques : leurs valeurs p sont calculées en supposant certaines propriétés des données. Si ces propriétés sont fortement violées, les valeurs p deviennent inexactes et le risque de conclure à tort augmente.
| Condition | Tests concernés | Ce qu'on vérifie |
|---|---|---|
| Normalité | t, ANOVA, Pearson ; en régression, normalité des résidus | Distribution des variables ou des résidus |
| Homogénéité des variances | t indépendant, ANOVA | Variances comparables entre groupes |
| Linéarité | Pearson, régression | Relation en ligne droite |
| Homoscédasticité | Régression | Variance des résidus constante |
| Absence de multicolinéarité | Régression multiple | Prédicteurs non redondants |
| Indépendance des erreurs | Tous | Observations indépendantes (Durbin-Watson en régression) |
La normalité
Deux familles d'outils coexistent. Les tests formels (Kolmogorov-Smirnov avec correction de Lilliefors, Shapiro-Wilk) testent H0 : « la distribution est normale ». Leur défaut est connu : avec un grand échantillon, le moindre écart devient significatif. Field (2018) rappelle qu'au-delà de quelques centaines d'observations, ces tests rejettent presque toujours la normalité, alors même que l'écart n'a aucune conséquence pratique.
Les indices descriptifs, asymétrie (skewness) et aplatissement (kurtosis), mesurent l'ampleur de l'écart. Pour une loi normale, les deux valent 0 (SPSS affiche l'excès d'aplatissement). On peut les standardiser :
Pour les échantillons de taille moyenne (50 à 300), Kim (2013) considère qu'un |z| supérieur à 3,29 signale une non-normalité. Au-delà de 300 observations, on juge directement les valeurs absolues.
Enfin, le théorème central limite assure que la distribution d'échantillonnage de la moyenne tend vers la normale quand N augmente. Avec plus de 30 observations par groupe, les tests t et l'ANOVA sont robustes à des écarts modérés (Field, 2018).
Homogénéité des variances
Le test de Levene teste H0 : « les variances des groupes sont égales ». Un p supérieur à 0,05 permet de conserver l'hypothèse d'homogénéité. S'il est significatif, on utilise la version corrigée : ligne « hypothèse de variances inégales » du test t (Welch), test robuste de Welch pour l'ANOVA, post hoc de Games-Howell.
Multicolinéarité
Deux prédicteurs très corrélés apportent une information redondante : les coefficients deviennent instables et leurs erreurs standard gonflent. Pour chaque prédicteur \(j\), on régresse \(X_j\) sur les autres prédicteurs et on note \(R_j^2\) :
Un VIF de 4 signifie que la variance du coefficient est quatre fois plus grande qu'en l'absence de corrélation entre prédicteurs.
03Démarche de vérification
- Normalité : tests K-S et Shapiro-Wilk, puis asymétrie et aplatissement, puis histogramme et diagramme Q-Q. On conclut en croisant les trois.
- Homogénéité : test de Levene, dans le test t ou l'ANOVA concernés.
- Linéarité : nuage de points VI × VD, puis graphique des résidus de la régression.
- Multicolinéarité : matrice de corrélation des prédicteurs (alerte au-delà de 0,80), puis VIF et tolérance.
- Décision : conditions satisfaites → test paramétrique ; violations importantes → test non paramétrique, transformation ou méthode robuste (bootstrap).
04Procédure pas à pas dans SPSS
Faites cette procédure dans le Labo SPSS, le simulateur gratuit de la formation : mêmes menus, mêmes boîtes de dialogue et mêmes résultats, directement dans votre navigateur. La mission 7 du Labo vous guide pas à pas sur ce module.
Normalité
- .
- Placez QAI, LEAD, SAT et PERF dans Liste des variables dépendantes.
- Graphiques : cochez Graphiques de répartition gaussiens avec tests (c'est cette option qui produit le tableau « Tests de normalité ») et Histogramme. Poursuivre, puis OK.
- Les asymétries et aplatissements, avec leurs erreurs standard, figurent dans le tableau « Descriptives » de la même sortie.
Homogénéité des variances
- Dans le test t : ; le test de Levene est fourni automatiquement.
- Dans l'ANOVA : , bouton Options : cochez Test d'homogénéité des variances et Welch.
Linéarité, homoscédasticité et multicolinéarité
- : nuage simple de PERF (axe Y) contre SAT (axe X).
- : PERF en variable dépendante, QAI, LEAD et SAT en variables indépendantes.
- Statistiques : cochez Tests de colinéarité et Durbin-Watson.
- Diagrammes : placez
*ZRESIDen Y et*ZPREDen X ; cochez Histogramme et Graphique de répartition gaussien.
EXAMINE VARIABLES=QAI LEAD SAT PERF /PLOT HISTOGRAM NPPLOT /STATISTICS DESCRIPTIVES. REGRESSION /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA COLLIN TOL /DEPENDENT PERF /METHOD=ENTER QAI LEAD SAT /SCATTERPLOT=(*ZRESID ,*ZPRED) /RESIDUALS DURBIN HISTOGRAM(ZRESID) NORMPROB(ZRESID).
05Interpréter les sorties
Tests de normalité
| Kolmogorov-Smirnova | Shapiro-Wilk | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Statistique | ddl | Sig. | Statistique | ddl | Sig. | |
| QAI | ,091 | 200 | ,000 | ,975 | 200 | ,001 |
| LEAD | ,061 | 200 | ,069 | ,983 | 200 | ,016 |
| SAT | ,093 | 200 | ,000 | ,979 | 200 | ,004 |
| PERF | ,084 | 200 | ,002 | ,977 | 200 | ,003 |
a. Correction de signification de Lilliefors
Lecture. Les tests formels rejettent la normalité pour QAI, SAT et PERF (p < 0,05 aux deux tests). Pour LEAD, Kolmogorov-Smirnov ne rejette pas la normalité (p = 0,069) mais Shapiro-Wilk, plus puissant, la rejette (p = 0,016).
Faut-il pour autant renoncer aux tests paramétriques ? Non : avec N = 200, ces tests détectent des écarts minimes. Il faut mesurer l'ampleur de l'écart.
| Score | Asymétrie | Erreur std | z asymétrie | Kurtosis | Erreur std | z kurtosis |
|---|---|---|---|---|---|---|
| QAI | -,324 | ,172 | -1,88 | -,508 | ,342 | -1,48 |
| LEAD | -,112 | ,172 | -0,65 | -,554 | ,342 | -1,62 |
| SAT | -,033 | ,172 | -0,19 | -,598 | ,342 | -1,75 |
| PERF | ,009 | ,172 | 0,05 | -,772 | ,342 | -2,26 |
Lecture. Les asymétries sont toutes inférieures à 0,33 en valeur absolue et les aplatissements à 0,78 : on est très loin des seuils de ±1 (Hair et al., 2022) et de ±2 (George & Mallery, 2019). Tous les scores z restent inférieurs à 3,29 (Kim, 2013). L'aplatissement négatif de PERF (z = −2,26) indique une distribution un peu plus plate que la normale, ce qui est fréquent avec des échelles de Likert bornées.
Conclusion. Les distributions sont proches de la normalité au sens pratique. Les tests paramétriques sont utilisables ; on présentera néanmoins, à titre de vérification, les équivalents non paramétriques au module 6.
Homogénéité des variances
| Statistique de Levene | ddl1 | ddl2 | Sig. | |
|---|---|---|---|---|
| SAT — Basée sur la moyenne | 2,269 | 3 | 196 | ,082 |
Pour comparer la satisfaction des quatre secteurs, le test de Levene n'est pas significatif (F(3, 196) = 2,27 ; p = 0,082) : l'homogénéité des variances est respectée et l'ANOVA classique peut être utilisée. Pour le test t sur la performance selon le sexe, Levene donne p = 0,231 (module 6).
Multicolinéarité
| Modèle 1 | Tolérance | VIF |
|---|---|---|
| QAI | ,782 | 1,278 |
| LEAD | ,770 | 1,299 |
| SAT | ,722 | 1,386 |
a. Variable dépendante : PERF
| Dimension | Valeur propre | Index de condition | Proportions de la variance | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| (Constante) | QAI | LEAD | SAT | |||
| 1 | 3,895 | 1,000 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 |
| 2 | 0,044 | 9,418 | 0,05 | 0,94 | 0,19 | 0,03 |
| 3 | 0,034 | 10,768 | 0,12 | 0,03 | 0,20 | 0,97 |
| 4 | 0,028 | 11,893 | 0,83 | 0,03 | 0,61 | 0,00 |
a. Variable dépendante : PERF
Lecture. Les VIF vont de 1,28 à 1,39, et les tolérances de 0,72 à 0,78 : aucune multicolinéarité. Le prédicteur le plus redondant est SAT, ce qui est logique puisqu'il est en partie expliqué par QAI et LEAD (module 9).
Le plus grand indice de condition vaut 11,89, sous le seuil de 15. Les fortes proportions de variance de la dimension 4 concernent la constante et LEAD, et non deux prédicteurs à la fois : ce n'est pas un signe de colinéarité (Belsley et al., 1980).
Linéarité et homoscédasticité
Le nuage des résidus standardisés en fonction des valeurs prédites, présenté au module 8, ne montre ni courbure (linéarité) ni forme d'entonnoir (homoscédasticité). Deux tests complémentaires vont dans le même sens : le test RESET de Ramsey (F = 0,02 ; p = 0,884) ne détecte pas de non-linéarité, et le test de Breusch-Pagan (p = 0,254) ne détecte pas d'hétéroscédasticité. Ces deux tests ne figurent pas dans les menus standard de SPSS ; ils sont donnés ici à titre de vérification.
06Seuils de référence
| Indicateur | Seuil | Source |
|---|---|---|
| K-S, Shapiro-Wilk | p > 0,05 : normalité non rejetée (peu informatif si N est grand) | Field (2018) |
| Asymétrie, aplatissement | ±1 (strict) ; ±2 (acceptable) | Hair et al. (2022) ; George & Mallery (2019) |
| Asymétrie / aplatissement (seuils larges) | |asymétrie| < 2 et |aplatissement| < 7 | West, Finch & Curran (1995) |
| z d'asymétrie / d'aplatissement | |z| < 3,29 pour 50 < N < 300 | Kim (2013) |
| Levene | p > 0,05 : variances homogènes | Field (2018) |
| VIF | < 3,3 idéal ; < 5 acceptable ; ≥ 10 multicolinéarité grave | Kock (2015) ; Hair et al. (2022) ; Hair et al. (2019) |
| Tolérance | > 0,20 ; < 0,10 problématique | Hair et al. (2019) ; Menard (1995) |
| Indice de condition | < 15 ; > 30 colinéarité forte | Belsley, Kuh & Welsch (1980) |
| Corrélation entre prédicteurs | > 0,80 : alerte | Field (2018) |
07Erreurs fréquentes
- Abandonner les tests paramétriques au seul vu d'un K-S significatif avec N = 200 ou plus.
- Tester la normalité des variables en régression : c'est la normalité des résidus qui compte.
- Confondre l'erreur standard de l'asymétrie et l'asymétrie elle-même dans la sortie Explorer.
- Calculer les VIF entre VI et VD : la multicolinéarité ne concerne que les prédicteurs entre eux.
- Lire la mauvaise ligne du test t sans regarder Levene.
- Ne rien écrire sur les conditions : le jury attend un paragraphe et, idéalement, un tableau.
08Exemple de rédaction pour le mémoire
La normalité des scores a été examinée à l'aide des tests de Kolmogorov-Smirnov et de Shapiro-Wilk, ainsi que des coefficients d'asymétrie et d'aplatissement. Si les tests formels rejettent la normalité pour la plupart des variables, ce qui est attendu avec un échantillon de 200 observations (Field, 2018), les coefficients d'asymétrie (de −0,32 à 0,01) et d'aplatissement (de −0,77 à −0,51) restent très inférieurs aux seuils de ±1 (Hair et al., 2022), et tous les scores z sont inférieurs à 3,29 (Kim, 2013). Les distributions sont donc considérées comme approximativement normales.
Les facteurs d'inflation de la variance, compris entre 1,28 et 1,39, et les tolérances, supérieures à 0,72, écartent tout problème de multicolinéarité (Hair et al., 2019). L'examen des résidus ne révèle ni non-linéarité ni hétéroscédasticité.
09Cas pratique
Exercice 1 — Calculer un z d'aplatissement
Le score PERF a un aplatissement de −0,772 et une erreur standard de 0,342. Calculez z et concluez.
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\(z = -0{,}772 / 0{,}342 = -2{,}26\). |z| = 2,26 < 3,29 : pour un échantillon de 200, l'écart à la normalité n'est pas problématique (Kim, 2013). Avec le seuil plus strict de 1,96, utilisé pour les petits échantillons, on conclurait à une distribution légèrement aplatie, sans conséquence pour les tests.
Exercice 2 — VIF à partir d'un R²
En régressant SAT sur QAI et LEAD, on obtient R² = 0,278. Quel est le VIF de SAT dans la régression de PERF sur QAI, LEAD et SAT ?
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\(VIF = 1/(1-0{,}278) = 1{,}385\), soit la valeur 1,386 de la sortie SPSS (à l'arrondi près). Tolérance = 0,722.
Exercice 3 — Levene significatif
Imaginez que le test de Levene de l'ANOVA soit significatif (p = 0,01). Que changez-vous dans l'analyse ?
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On rapporte le test robuste de Welch à la place du F classique, et l'on choisit le post hoc de Games-Howell, qui ne suppose pas l'égalité des variances. Avec des groupes d'effectifs très inégaux, on peut aussi compléter par le test de Kruskal-Wallis.