Module 6 sur 11

Tests de relations et de comparaison

Corréler deux scores, croiser deux variables qualitatives, comparer deux groupes ou plus : six tests couvrent la plupart des besoins d'un mémoire. Pour chacun, sa version paramétrique et son équivalent non paramétrique.

3 hCas fil rouge : sexe, secteur et niveau hiérarchique

01Objectifs

À la fin de ce module, vous saurez :

  • choisir le test adapté au type de variables et au nombre de groupes ;
  • calculer et interpréter une corrélation de Pearson ou de Spearman ;
  • tester l'indépendance de deux variables qualitatives (khi-deux, V de Cramér) ;
  • comparer deux groupes (test t, Mann-Whitney) ou plus (ANOVA, Kruskal-Wallis, post hoc) ;
  • rapporter chaque test avec sa taille d'effet, au format APA.

02Explication théorique

La logique commune : test d'hypothèse et taille d'effet

Chaque test compare une statistique observée à sa distribution sous H0 (absence de lien ou de différence). La valeur p est la probabilité d'obtenir un résultat au moins aussi extrême si H0 était vraie. Si p < α (0,05), on rejette H0.

La valeur p ne dit rien de l'importance de l'effet : avec un grand échantillon, une différence minime devient significative. L'APA (2020) exige donc de rapporter une taille d'effet pour chaque test.

Choisir le bon test

Tableau de choix des tests bivariés
QuestionVariablesTest paramétriqueÉquivalent non paramétriqueTaille d'effet
Lien entre deux variables2 quantitativesCorrélation de PearsonRho de Spearmanr, r²
Lien entre deux variables2 qualitativesKhi-deux d'indépendance (test exact de Fisher pour les petits effectifs)V de Cramér
Différence entre 2 groupes indépendants1 quantitative × 1 qualitative à 2 modalitésTest t de StudentU de Mann-Whitneyd de Cohen ; r = z/√N
Différence entre 3 groupes ou plus1 quantitative × 1 qualitative à 3 modalités ou plusANOVA à un facteurH de Kruskal-Wallisη² ; ε²
Avant / après (mêmes personnes)2 mesures appariéesTest t appariéWilcoxond de Cohen

L'arbre de décision interactif reprend cette logique pas à pas.

Corrélation de Pearson et de Spearman

$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$

r varie de −1 à +1. Le signe donne le sens du lien, la valeur absolue sa force ; r² est la part de variance partagée. Le rho de Spearman applique la même formule aux rangs : il mesure une relation monotone et résiste aux valeurs extrêmes.

Une corrélation ne prouve jamais une causalité : elle est symétrique et peut provenir d'une troisième variable.

Khi-deux d'indépendance

$$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} \qquad E = \frac{\text{total ligne} \times \text{total colonne}}{N} \qquad V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N(k-1)}}$$

O : effectifs observés ; E : effectifs théoriques sous l'hypothèse d'indépendance ; k : le plus petit nombre de lignes ou de colonnes.

Test t et ANOVA

Le test t compare deux moyennes en rapportant leur différence à l'erreur standard de cette différence. L'ANOVA généralise à k groupes en comparant la variance entre les groupes à la variance à l'intérieur des groupes :

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \qquad d = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p} \qquad F = \frac{CM_{inter}}{CM_{intra}} \qquad \eta^2 = \frac{SC_{inter}}{SC_{totale}}$$

Un F significatif indique qu'au moins deux groupes diffèrent, sans dire lesquels : les tests post hoc (Tukey si les variances sont homogènes, Games-Howell sinon) répondent à cette question en contrôlant le risque d'erreur lié aux comparaisons multiples.

03Conditions d'application

Conditions des tests du module
TestConditions
PearsonVariables quantitatives, relation linéaire, pas de valeurs extrêmes, normalité approximative
SpearmanVariables au moins ordinales, relation monotone
Khi-deuxObservations indépendantes ; aucun effectif théorique inférieur à 1 et au plus 20 % inférieurs à 5 (Cochran, 1954)
Test t indépendantGroupes indépendants, normalité approximative (ou n ≥ 30 par groupe), homogénéité des variances (sinon ligne de Welch)
ANOVAMêmes conditions, à vérifier pour chaque groupe ; Welch si Levene est significatif
Mann-Whitney, Kruskal-WallisVariable au moins ordinale, groupes indépendants, distributions de forme comparable pour conclure sur les médianes

04Procédure pas à pas dans SPSS

Pas de licence SPSS ?

Faites cette procédure dans le Labo SPSS, le simulateur gratuit de la formation : mêmes menus, mêmes boîtes de dialogue et mêmes résultats, directement dans votre navigateur. La mission 8 du Labo vous guide pas à pas sur ce module.

Corrélations

  1. Analyse › Corrélation › Bivariée.
  2. Placez QAI, LEAD, SAT, PERF et Anciennete dans Variables.
  3. Cochez Pearson (et Spearman pour la version non paramétrique), test Bilatéral, Repérer les corrélations significatives. OK.

Khi-deux

  1. Analyse › Statistiques descriptives › Tableaux croisés.
  2. Lignes : Poste ; Colonnes : Secteur.
  3. Statistiques : cochez Khi-carré et Phi et V de Cramer. Cellules : Observé, Théorique et pourcentages Ligne. OK.

Test t et Mann-Whitney

  1. Analyse › Comparer les moyennes › Test T pour échantillons indépendants.
  2. Variable à tester : PERF ; Critère de regroupement : Sexe, bouton Définir les groupes : groupe 1 = 1, groupe 2 = 2. OK. (SPSS 27 et suivants ajoutent un tableau des tailles d'effet si la case Estimer les tailles d'effet est cochée.)
  3. Non paramétrique : Analyse › Tests non paramétriques › Boîtes de dialogue ancienne version › 2 échantillons indépendants, type de test : U de Mann-Whitney.

ANOVA et Kruskal-Wallis

  1. Analyse › Comparer les moyennes › ANOVA à 1 facteur. Variable dépendante : SAT ; Facteur : Secteur.
  2. Options : Caractéristiques, Test d'homogénéité des variances, Welch. Post hoc : Tukey et Games-Howell. OK.
  3. Non paramétrique : Analyse › Tests non paramétriques › Boîtes de dialogue ancienne version › K échantillons indépendants, H de Kruskal-Wallis, plage de 1 à 4.
CORRELATIONS /VARIABLES=QAI LEAD SAT PERF Anciennete /PRINT=TWOTAIL NOSIG.
NONPAR CORR /VARIABLES=QAI LEAD SAT PERF Anciennete /PRINT=SPEARMAN TWOTAIL.
CROSSTABS /TABLES=Poste BY Secteur /STATISTICS=CHISQ PHI /CELLS=COUNT EXPECTED ROW.
T-TEST GROUPS=Sexe(1 2) /VARIABLES=PERF.
NPAR TESTS /M-W= PERF BY Sexe(1 2).
ONEWAY SAT BY Secteur /STATISTICS DESCRIPTIVES HOMOGENEITY WELCH /POSTHOC=TUKEY GH ALPHA(0.05).
NPAR TESTS /K-W=SAT BY Secteur(1 4).

05Interpréter les sorties

1. Corrélations entre les scores

Sortie SPSS
Corrélations
QAILEADSATPERFAnciennete
QAICorrélation de Pearson1,357**,427**,449**,083
Sig. (bilatérale),000,000,000,242
N200200200200200
LEADCorrélation de Pearson,357**1,442**,343**-,029
Sig. (bilatérale),000,000,000,686
N200200200200200
SATCorrélation de Pearson,427**,442**1,576**,037
Sig. (bilatérale),000,000,000,600
N200200200200200
PERFCorrélation de Pearson,449**,343**,576**1-,019
Sig. (bilatérale),000,000,000,793
N200200200200200
AncienneteCorrélation de Pearson,083-,029,037-,0191
Sig. (bilatérale),242,686,600,793
N200200200200200

**. La corrélation est significative au niveau 0,01 (bilatéral).

Lecture. Chaque cellule empile trois lignes : le coefficient, la valeur p et N. Toutes les corrélations entre les quatre construits sont positives et significatives (p < 0,001). La plus forte relie la satisfaction et la performance (r = 0,576 : effet fort selon Cohen, 33 % de variance partagée). QAI–PERF (0,449) et LEAD–PERF (0,343) sont d'intensité moyenne.

L'ancienneté n'est corrélée à aucun construit (|r| < 0,09 ; p > 0,24). Elle ne pose donc pas de problème de confusion pour l'analyse de modération du module 9.

Ces corrélations sont cohérentes avec H1 à H3, mais elles ne les testent pas : elles ne tiennent pas compte des autres variables. La régression multiple (module 8) le fera.

Sortie SPSS
Corrélations (Rho de Spearman)
QAILEADSATPERFAnciennete
QAICoefficient de corrélation1,000,356**,440**,441**,124
Sig. (bilatérale),000,000,000,081
N200200200200200
LEADCoefficient de corrélation,356**1,000,458**,348**-,047
Sig. (bilatérale),000,000,000,509
N200200200200200
SATCoefficient de corrélation,440**,458**1,000,571**,061
Sig. (bilatérale),000,000,000,395
N200200200200200
PERFCoefficient de corrélation,441**,348**,571**1,000,050
Sig. (bilatérale),000,000,000,483
N200200200200200
AncienneteCoefficient de corrélation,124-,047,061,0501,000
Sig. (bilatérale),081,509,395,483
N200200200200200

**. La corrélation est significative au niveau 0,01 (bilatéral).

Les rhos de Spearman (de 0,348 à 0,571 entre construits) sont très proches des r de Pearson : les conclusions ne dépendent pas de l'hypothèse de normalité.

2. Khi-deux : niveau hiérarchique et secteur

Sortie SPSS
Tableau croisé Niveau hiérarchique * Secteur d'activité (effectifs)
Secteur d'activitéTotal
Banque et assuranceIndustrieServicesAdministration publique
Niveau hiérarchiqueEmployé(e)1719182478
Cadre intermédiaire2117322090
Cadre supérieur46121032
Total42426254200
Sortie SPSS
Tests du khi-carré
ValeurddlSignification asymptotique (bilatérale)
Khi-carré de Pearson6,049a6,418
Rapport de vraisemblance6,3396,386
N d'observations valides200

a. 0 cellules (0,0 %) ont un effectif théorique inférieur à 5. L'effectif théorique minimum est de 6,72.

Sortie SPSS
Mesures symétriques
ValeurSignification approximative
Nominal par NominalPhi,174,418
V de Cramer,123,418
N d'observations valides200

Lecture. Vérifiez d'abord la note a. : aucune cellule n'a d'effectif théorique inférieur à 5 (minimum 6,72), la condition de Cochran est respectée. Le khi-deux n'est pas significatif : χ²(6, N = 200) = 6,05 ; p = 0,418. La répartition des niveaux hiérarchiques ne diffère pas selon le secteur, et le V de Cramér (0,12) confirme un lien négligeable. La composition des secteurs ne biaisera donc pas leur comparaison.

3. Test t : la performance perçue selon le sexe

Sortie SPSS
Statistiques de groupe
SexeNMoyenneÉcart typeMoyenne erreur standard
PERFHomme1043,3520,798,078
Femme963,2620,880,090
Sortie SPSS
Test des échantillons indépendants
Test de Levene sur l'égalité des variancesTest t pour égalité des moyennes
FSig.tddlSig. (bilatéral)Différence moyenneDifférence erreur standardIC 95 % inférieurIC 95 % supérieur
PERFHypothèse de variances égales1,441,231,760198,448,0900,1190-,1440,3240
Hypothèse de variances inégales,757191,946,450,0900,1190-,1450,3250

Lecture en deux temps. (1) Levene : F = 1,44 ; p = 0,231 > 0,05, variances homogènes, on lit donc la première ligne. (2) Test t : t(198) = 0,76 ; p = 0,448. La différence de 0,09 point entre hommes (M = 3,35) et femmes (M = 3,26) n'est pas significative ; l'intervalle de confiance [−0,144 ; 0,324] contient 0.

Taille d'effet : d = 0,09 / 0,838 = 0,11, effet négligeable (inférieur à 0,20). La perception de la performance ne dépend pas du sexe du répondant.

Sortie SPSS
Rangs (test de Mann-Whitney)
SexeNRang moyenSomme des rangs
PERFHomme104102,9710708,50
Femme9697,839391,50
Total200
Sortie SPSS
Statistiques de testa
PERF
U de Mann-Whitney4735,500
W de Wilcoxon9391,500
Z-,629
Signification asymptotique (bilatérale),529

a. Variable de regroupement : Sexe

Le test de Mann-Whitney aboutit à la même conclusion : U = 4 735,5 ; z = −0,63 ; p = 0,529 ; r = |z|/√N = 0,04.

4. ANOVA : la satisfaction selon le secteur

Sortie SPSS
Descriptives — SAT
NMoyenneÉcart typeErreur standard
Banque et assurance423,5360,788,122
Industrie423,3360,991,153
Services623,4350,764,097
Administration publique543,0460,865,118
Total2003,3310,862
Sortie SPSS
ANOVA — SAT
Somme des carrésddlCarré moyenFSig.
Inter-groupes6,81532,2723,159,026
Intragroupes140,9651960,719
Total147,780199
Sortie SPSS
Tests robustes d'égalité des moyennes — SAT
Statistiqueaddl1ddl2Sig.
Welch3,2163101,686,026

a. F distribué de manière asymptotique.

Lecture. Levene étant non significatif (p = 0,082, module 5), on lit l'ANOVA classique : F(3, 196) = 3,16 ; p = 0,026. La satisfaction moyenne diffère selon le secteur. Le test de Welch confirme (p = 0,026).

Taille d'effet : \(\eta^2 = 6{,}815 / 147{,}780 = 0{,}046\). Le secteur explique 4,6 % de la variance de la satisfaction, un effet faible à moyen (Cohen, 1988 : 0,01 faible ; 0,06 moyen ; 0,14 fort).

Sortie SPSS
Comparaisons multiples — SAT (HSD de Tukey)
(I) Secteur(J) SecteurDifférence moyenne (I-J)Erreur standardSig.Intervalle de confiance à 95 %
Borne inférieureBorne supérieure
Banque et assuranceIndustrie,20000,18504,703-,2800,6790
Services,10000,16946,935-,3390,5390
Administration publique,48900*,17445,028,0370,9420
IndustrieBanque et assurance-,20000,18504,703-,6790,2800
Services-,10000,16946,936-,5390,3400
Administration publique,29000,17445,347-,1620,7420
ServicesBanque et assurance-,10000,16946,935-,5390,3390
Industrie,10000,16946,936-,3400,5390
Administration publique,38900,15783,069-,0200,7980
Administration publiqueBanque et assurance-,48900*,17445,028-,9420-,0370
Industrie-,29000,17445,347-,7420,1620
Services-,38900,15783,069-,7980,0200

*. La différence moyenne est significative au niveau 0,05.

Lecture. Chaque paire apparaît deux fois (I−J et J−I). Une seule différence est significative : la banque et l'assurance (M = 3,54) devancent l'administration publique (M = 3,05), différence de 0,49 point, p = 0,028. L'écart entre les services et l'administration (0,39 ; p = 0,069) n'atteint pas le seuil.

Sortie SPSS
Rangs (Kruskal-Wallis) — SAT
SecteurNRang moyen
Banque et assurance42112,38
Industrie42100,49
Services62108,14
Administration publique5482,50
Total200
Sortie SPSS
Statistiques de testa,b
SAT
H de Kruskal-Wallis8,141
ddl3
Signification asymptotique,043

a. Test de Kruskal-Wallis

b. Variable de regroupement : Secteur

Kruskal-Wallis conduit à la même conclusion : H(3) = 8,14 ; p = 0,043 ; ε² = H/(N − 1) = 0,04. L'administration publique a le rang moyen le plus faible (82,5).

06Seuils de référence

Tailles d'effet et seuils d'interprétation
IndiceFaibleMoyenFortSource
r (Pearson, Spearman, r de Mann-Whitney)0,100,300,50Cohen (1988)
d de Cohen0,200,500,80Cohen (1988)
η² (ANOVA)0,010,060,14Cohen (1988)
V de Cramér (ddl* = 1)0,100,300,50Cohen (1988)
V de Cramér (ddl* = 2)0,070,210,35Cohen (1988)

* ddl* = plus petit nombre de lignes ou de colonnes moins 1. Le tableau Poste × Secteur (3 × 4) a ddl* = 2. Seuil de significativité : α = 0,05 ; condition du khi-deux : au plus 20 % d'effectifs théoriques inférieurs à 5 (Cochran, 1954).

07Erreurs fréquentes

À éviter
  • Conclure à une causalité à partir d'une corrélation.
  • Lire la mauvaise ligne du test t : c'est Levene qui indique la ligne à retenir.
  • Enchaîner des tests t pour comparer 4 groupes : avec 6 comparaisons, le risque global d'erreur dépasse 26 %. On utilise l'ANOVA puis un post hoc.
  • S'arrêter au F de l'ANOVA sans dire quels groupes diffèrent.
  • Ignorer la note sur les effectifs théoriques du khi-deux.
  • Écrire « p = 0,000 » : on écrit p < 0,001.
  • Omettre la taille d'effet : un résultat significatif peut être négligeable en pratique.

08Exemple de rédaction pour le mémoire

Rédaction type (style APA)

Les corrélations de Pearson montrent des liens positifs et significatifs entre tous les construits (tableau 1). La satisfaction des employés est fortement corrélée à la performance organisationnelle, r(198) = 0,58, p < 0,001, de même que la qualité de l'audit interne, r(198) = 0,45, p < 0,001, et le leadership, r(198) = 0,34, p < 0,001.

Un test t pour échantillons indépendants ne révèle pas de différence de performance perçue entre les hommes (M = 3,35 ; ET = 0,80) et les femmes (M = 3,26 ; ET = 0,88), t(198) = 0,76, p = 0,448, d = 0,11. En revanche, une ANOVA à un facteur indique que la satisfaction varie selon le secteur, F(3, 196) = 3,16, p = 0,026, η² = 0,05. Le test post hoc de Tukey montre que les employés de la banque et de l'assurance (M = 3,54 ; ET = 0,79) sont plus satisfaits que ceux de l'administration publique (M = 3,05 ; ET = 0,87), p = 0,028. Les tests non paramétriques de Mann-Whitney et de Kruskal-Wallis conduisent aux mêmes conclusions.

09Cas pratique

Exercice 1 — Choisir le test

Pour chaque question, indiquez le test : (a) la satisfaction diffère-t-elle selon le niveau hiérarchique (3 modalités) ? (b) le sexe est-il lié au secteur ? (c) l'ancienneté est-elle liée à la performance ?

Afficher la solution

(a) ANOVA à un facteur (ou Kruskal-Wallis), avec post hoc. (b) Khi-deux d'indépendance avec V de Cramér. (c) Corrélation de Pearson, ou Spearman si la relation n'est pas linéaire ou si l'ancienneté est très asymétrique.

Exercice 2 — Calculer d

À partir des statistiques de groupe (M₁ = 3,352 ; ET₁ = 0,798 ; n₁ = 104 ; M₂ = 3,262 ; ET₂ = 0,880 ; n₂ = 96), calculez le d de Cohen.

Afficher la solution

\(s_p = \sqrt{\dfrac{103 \times 0{,}798^2 + 95 \times 0{,}880^2}{198}} = \sqrt{\dfrac{65{,}59 + 73{,}57}{198}} = 0{,}838\)

\(d = (3{,}352 - 3{,}262)/0{,}838 = 0{,}11\) : effet négligeable.

Exercice 3 — Reproduire l'ANOVA

Lancez l'ANOVA de SAT par Secteur avec le post hoc de Games-Howell. Votre conclusion change-t-elle ?

Afficher la solution

Les variances étant homogènes, Tukey est le test de référence. Games-Howell aboutit à la même lecture : seule la différence entre la banque et l'assurance et l'administration publique est significative (p = 0,024) ; l'écart entre les services et l'administration reste non significatif (p = 0,058).

10Quiz du module