Module 7 sur 11

Régression linéaire simple

Le premier test d'hypothèse au sens strict : la qualité de l'audit interne explique-t-elle la performance ? Trois tableaux SPSS suffisent pour répondre, à condition de savoir les lire dans le bon ordre.

1 h 30Cas fil rouge : test de H1 (QAI → PERF)

01Objectifs

À la fin de ce module, vous saurez :

  • expliquer le principe des moindres carrés ;
  • lire le récapitulatif du modèle (R, R², R² ajusté), l'ANOVA et le tableau des coefficients ;
  • distinguer le coefficient non standardisé B du coefficient standardisé bêta ;
  • écrire l'équation de régression et l'utiliser pour prédire ;
  • valider ou rejeter une hypothèse et le rédiger au format APA.

02Explication théorique

Le modèle

La régression linéaire simple modélise une variable dépendante Y comme une fonction linéaire d'une variable indépendante X :

$$Y_i = b_0 + b_1 X_i + \varepsilon_i$$

\(b_0\) : constante (valeur prédite de Y quand X = 0) ; \(b_1\) : pente (variation de Y quand X augmente d'une unité) ; \(\varepsilon_i\) : résidu, écart entre la valeur observée et la valeur prédite.

La méthode des moindres carrés ordinaires choisit \(b_0\) et \(b_1\) de façon à minimiser la somme des carrés des résidus. On obtient :

$$b_1 = r_{XY}\,\frac{s_Y}{s_X} \qquad b_0 = \bar{Y} - b_1 \bar{X}$$

La qualité du modèle

La variance totale de Y se décompose en une partie expliquée par le modèle et une partie résiduelle :

$$SC_{totale} = SC_{régression} + SC_{résidus} \qquad R^2 = \frac{SC_{régression}}{SC_{totale}}$$

R² est la proportion de la variance de Y expliquée par X. En régression simple, R est égal à la valeur absolue du coefficient de corrélation de Pearson entre X et Y.

Le R² ajusté corrige R² en fonction du nombre de prédicteurs \(k\) et de la taille de l'échantillon \(n\) : \(R^2_{aj} = 1 - (1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1}\). Il devient important en régression multiple.

Deux tests complémentaires

  • Le test F de l'ANOVA teste le modèle dans son ensemble (H0 : R² = 0).
  • Le test t de chaque coefficient teste H0 : \(b_1 = 0\), avec \(t = b_1 / ES(b_1)\). En régression simple, les deux tests sont équivalents : \(F = t^2\).

B ou bêta ?

B est exprimé dans les unités des variables : « quand QAI augmente d'un point, PERF augmente de B points ». Le bêta standardisé, \(\beta = B \times s_X / s_Y\), exprime l'effet en écarts types et permet de comparer des prédicteurs mesurés sur des échelles différentes. En régression simple, β est égal à r.

03Conditions d'application

  • Variable dépendante quantitative (ici, un score moyen sur une échelle de 1 à 5).
  • Relation linéaire entre X et Y (nuage de points).
  • Indépendance des résidus (Durbin-Watson proche de 2).
  • Homoscédasticité : variance des résidus constante.
  • Normalité des résidus, surtout pour les petits échantillons.
  • Pas d'observation trop influente (distance de Cook inférieure à 1).

Pour H1, le module 5 a montré que ces conditions étaient réunies. Le module 8 détaille l'analyse des résidus.

04Procédure pas à pas dans SPSS

  1. Visualisez d'abord la relation : Graphiques › Boîtes de dialogue ancienne version › Dispersion/Points › Dispersion simple, PERF en Y, QAI en X.
  2. Analyse › Régression › Linéaire.
  3. Dépendant : PERF ; Bloc 1 sur 1 – Variables indépendantes : QAI ; Méthode : Entrée.
  4. Statistiques : cochez Estimations, Intervalles de confiance (95 %) et Qualité de l'ajustement. Poursuivre.
  5. OK. La sortie comporte quatre tableaux : Variables introduites/éliminées, Récapitulatif des modèles, ANOVA, Coefficients.
REGRESSION
  /STATISTICS COEFF OUTS CI(95) R ANOVA
  /DEPENDENT PERF
  /METHOD=ENTER QAI.

05Interpréter les sorties

Lisez toujours les tableaux dans cet ordre : le modèle explique-t-il quelque chose (ANOVA) ? combien (R²) ? comment (coefficients) ?

Sortie SPSS
Récapitulatif des modèles
ModèleRR-deuxR-deux ajustéErreur standard de l'estimation
1,449a,202,198,75000

a. Prédicteurs : (Constante), QAI

R = 0,449 : c'est la corrélation entre QAI et PERF observée au module 6.

R² = 0,202 : la qualité de l'audit interne explique 20,2 % de la variance de la performance perçue. Selon Cohen (1988), cela correspond à \(f^2 = 0{,}202/0{,}798 = 0{,}25\), un effet moyen à fort.

R² ajusté = 0,198 : très proche de R², car un seul prédicteur pour 200 observations.

Erreur standard de l'estimation = 0,750 : en moyenne, les prédictions s'écartent de 0,75 point des valeurs observées.

Sortie SPSS
ANOVAa
ModèleSomme des carrésddlCarré moyenFSig.
1Régression28,188128,18850,135,000b
de Student111,3231980,562
Total139,511199

a. Variable dépendante : PERF

b. Prédicteurs : (Constante), QAI

Lecture. F(1, 198) = 50,14 ; p < 0,001. Le modèle explique significativement mieux la performance qu'un modèle sans prédicteur. Vérification : R² = 28,188 / 139,511 = 0,202. La ligne intitulée « de Student » correspond aux résidus : c'est une traduction maladroite de Residual dans la version française de SPSS.

Sortie SPSS
Coefficientsa
ModèleCoefficients non standardisésCoefficients standardiséstSig.Intervalle de confiance à 95,0 % pour B
BErreur standardBêtaBorne inférieureBorne supérieure
1(Constante)1,972,19610,053,0001,5852,358
QAI0,405,057,4497,081,0000,2920,518

a. Variable dépendante : PERF

Constante (B = 1,972) : valeur prédite de PERF pour QAI = 0. Comme QAI varie de 1 à 5, elle n'a pas d'interprétation concrète ; elle sert à positionner la droite.

QAI : B = 0,405 ; t = 7,08 ; p < 0,001. Quand la qualité perçue de l'audit interne augmente d'un point sur l'échelle de 1 à 5, la performance perçue augmente en moyenne de 0,405 point. L'intervalle de confiance [0,292 ; 0,518] ne contient pas 0 : l'effet est positif avec une confiance de 95 %.

Bêta = 0,449 : une augmentation d'un écart type de QAI s'accompagne d'une augmentation de 0,45 écart type de PERF. Vérification : t² = 7,081² = 50,14 = F.

L'équation et son usage

$$\widehat{PERF} = 1{,}972 + 0{,}405 \times QAI$$

Un répondant qui évalue l'audit interne à 4 a une performance prédite de \(1{,}972 + 0{,}405 \times 4 = 3{,}59\). Pour un score QAI de 2 : 2,78.

Décision sur H1

Décision

H1 est validée en régression simple : la qualité de l'audit interne a un effet positif et significatif sur la performance (β = 0,45 ; p < 0,001). Le coefficient est positif, comme l'annonçait l'hypothèse orientée.

Ce résultat reste toutefois partiel : QAI est corrélée à LEAD et à SAT. Le module 8 vérifie si l'effet résiste quand on contrôle ces variables.

Les deux autres prédicteurs, pris isolément

Tableau 7.1 — Régressions simples sur PERF (N = 200)
PrédicteurBESβtpR²F(1, 198)
QAI0,4050,0570,4497,08< 0,0010,20250,14
LEAD0,3540,0690,3435,14< 0,0010,11826,46
SAT0,5600,0560,5769,92< 0,0010,33298,43

Pris isolément, les trois prédicteurs ont un effet positif et significatif. Mais leurs R² ne s'additionnent pas (0,202 + 0,118 + 0,332 = 0,652) : ils se recoupent, puisque les prédicteurs sont corrélés entre eux. C'est tout l'enjeu de la régression multiple.

06Seuils de référence

Repères d'interprétation de la régression simple
IndicateurRepèreSource
p du test F et du test t< 0,05 : effet significatifField (2018)
f² = R²/(1 − R²)0,02 faible ; 0,15 moyen ; 0,35 fortCohen (1988)
R² (comportement organisationnel)Aucun seuil universel ; à comparer aux études du domaineHair et al. (2019)
Intervalle de confiance de BNe contient pas 0 : effet significatif à 5 %Cumming (2014)
Distance de Cook< 1Cook & Weisberg (1982)

07Erreurs fréquentes

À éviter
  • Interpréter la constante alors que X = 0 est hors de l'échelle.
  • Confondre B et bêta dans le texte (« une hausse d'un point… » s'applique à B, pas à β).
  • Conclure à la causalité : une régression sur données transversales établit une association compatible avec l'hypothèse, pas une preuve de causalité.
  • Valider une hypothèse orientée avec un coefficient du mauvais signe, même significatif.
  • Juger un modèle « mauvais » parce que R² = 0,20 : en sciences de gestion, de nombreux facteurs influencent la performance.
  • Prédire hors de l'étendue observée de X.

08Exemple de rédaction pour le mémoire

Rédaction type (style APA)

Une régression linéaire simple a été réalisée pour tester l'effet de la qualité de l'audit interne sur la performance organisationnelle (H1). Le modèle est significatif, F(1, 198) = 50,14, p < 0,001, et explique 20,2 % de la variance de la performance (R² = 0,20 ; R² ajusté = 0,20). La qualité de l'audit interne a un effet positif et significatif sur la performance, B = 0,41, IC 95 % [0,29 ; 0,52], β = 0,45, t(198) = 7,08, p < 0,001. L'hypothèse H1 est donc soutenue.

09Cas pratique

Exercice 1 — Prédire

Avec l'équation de régression, quelle performance prédit-on pour un score QAI de 3,5 ?

Afficher la solution

\(1{,}972 + 0{,}405 \times 3{,}5 = 3{,}39\).

Exercice 2 — Retrouver β à partir de B

Sachant que l'écart type de QAI est 0,929 et celui de PERF 0,837, retrouvez β à partir de B = 0,405.

Afficher la solution

\(\beta = 0{,}405 \times 0{,}929 / 0{,}837 = 0{,}449\), qui est aussi la corrélation r entre QAI et PERF.

Exercice 3 — Votre tour

Lancez la régression de PERF sur LEAD. Rédigez le paragraphe APA correspondant.

Afficher la solution

« Le leadership a un effet positif et significatif sur la performance organisationnelle, F(1, 198) = 26,46, p < 0,001, R² = 0,12 ; B = 0,35, IC 95 % [0,22 ; 0,49], β = 0,34, p < 0,001. » Attention : le module 8 montrera que cet effet direct disparaît quand la satisfaction est contrôlée.

10Quiz du module