Module 10 sur 11

Modélisation PLS-SEM avec SmartPLS

Estimer tout le modèle d'un seul coup, en tenant compte de la mesure de chaque construit : c'est la promesse des équations structurelles. Ce module suit la démarche en deux temps de Hair et al. (2022), du modèle de mesure au modèle structurel.

4 hCas fil rouge : le modèle complet dans SmartPLS 4

01Objectifs

À la fin de ce module, vous saurez :

  • expliquer ce que le PLS-SEM apporte par rapport à la régression et au CB-SEM ;
  • construire le modèle dans SmartPLS 4 et lancer l'algorithme, le bootstrap et PLSpredict ;
  • évaluer le modèle de mesure réflectif : loadings, alpha, rho_A, fiabilité composite, AVE ;
  • établir la validité discriminante : Fornell-Larcker, loadings croisés et HTMT ;
  • évaluer le modèle structurel : VIF, coefficients de chemin, R², f², Q²predict ;
  • tester les hypothèses directes et indirectes et présenter les résultats.

02Explication théorique

Équations structurelles : deux modèles en un

Un modèle d'équations structurelles combine :

  • un modèle de mesure (ou modèle externe) qui relie chaque construit à ses indicateurs ;
  • un modèle structurel (ou modèle interne) qui relie les construits entre eux selon les hypothèses.

Il existe deux grandes familles. Le CB-SEM (AMOS, lavaan) estime les paramètres qui reproduisent au mieux la matrice de covariance observée ; il est orienté confirmation et exige des échantillons plus grands et des données proches de la normalité. Le PLS-SEM (SmartPLS) estime les construits comme des combinaisons pondérées de leurs indicateurs et maximise la variance expliquée des construits endogènes ; il est orienté explication et prédiction (Hair et al., 2022).

Ce que le PLS-SEM apporte par rapport à la régression

Régression sur scores moyens et PLS-SEM
AspectRégression (modules 7 à 9)PLS-SEM
Scores des construitsMoyenne simple, poids identiquesPoids estimés : les meilleurs indicateurs pèsent davantage
EstimationUne équation à la foisTout le modèle simultanément
MédiationPlusieurs modèles PROCESSEffets indirects estimés dans le même modèle
Qualité de la mesureÉvaluée à part (alpha, AFE)Intégrée : loadings, AVE, HTMT
InférenceTests t paramétriquesBootstrap, sans hypothèse de normalité

L'algorithme en bref

L'algorithme PLS alterne deux étapes jusqu'à convergence : une estimation externe (chaque construit est approché par une combinaison de ses indicateurs) et une estimation interne (chaque construit est approché par les construits auxquels il est relié, selon le schéma de pondération « path »). Une fois les poids stabilisés, les scores des construits sont calculés et les coefficients de chemin sont estimés par régression OLS. Le modèle du cas fil rouge converge en quelques itérations, bien avant la limite de 3 000.

Les indicateurs du modèle de mesure

$$\rho_C = \frac{\left(\sum \lambda_i\right)^2}{\left(\sum \lambda_i\right)^2 + \sum (1-\lambda_i^2)} \qquad AVE = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} \lambda_i^2$$

\(\rho_C\) : fiabilité composite (elle ne suppose pas des loadings égaux, à la différence de l'alpha) ; AVE : variance moyenne extraite, la part de variance des indicateurs captée par le construit. \(\rho_A\) (Dijkstra & Henseler, 2015) se situe en général entre l'alpha et \(\rho_C\).

$$HTMT_{ij} = \frac{\text{moyenne des corrélations entre les items de } i \text{ et ceux de } j}{\sqrt{\text{moy. des corrélations au sein de } i \times \text{moy. des corrélations au sein de } j}}$$

Le HTMT (Henseler, Ringle & Sarstedt, 2015) estime la corrélation entre deux construits corrigée de l'erreur de mesure. S'il approche 1, les deux construits ne sont pas distincts.

Les indicateurs du modèle structurel

$$f^2 = \frac{R^2_{inclus} - R^2_{exclu}}{1 - R^2_{inclus}} \qquad Q^2_{predict} = 1 - \frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum (y_i - \bar{y}_{apprentissage})^2}$$

f² mesure la contribution d'un construit exogène au R² d'un construit endogène. Q²predict compare les erreurs de prédiction hors échantillon du modèle à celles d'une prédiction naïve par la moyenne : une valeur positive indique une pertinence prédictive (Shmueli et al., 2019).

03Conditions d'application

  • Objectif : expliquer et prédire des construits clés, tester un modèle complexe (médiations, nombreux construits) ou travailler avec des construits formatifs.
  • Taille d'échantillon : méthode de la racine carrée inverse (module 1) ; 155 pour détecter un chemin de 0,20, ici N = 200.
  • Données : aucune hypothèse de normalité, mais des données issues d'un échantillon représentatif et sans valeurs manquantes non traitées.
  • Mode de mesure : spécifier pour chaque construit s'il est réflectif ou formatif. Les quatre construits du cas fil rouge sont réflectifs.
  • Modèle récursif : pas de boucle causale (A → B → A).

04Procédure pas à pas dans SmartPLS 4

Construire le modèle

  1. File › Create new project, nommez-le « Audit-Leadership-Performance ».
  2. Dans la fenêtre du projet, double-cliquez sur Import data file et sélectionnez etude_fil_rouge.csv. Vérifiez que SmartPLS reconnaît le séparateur « ; » et qu'il indique 200 observations sans valeur manquante.
  3. Créez un modèle : New › PLS-SEM model. Dans la barre d'outils, choisissez Latent variable et cliquez sur le canevas pour créer QAI, LEAD, SAT et PERF (renommez-les par F2).
  4. Glissez les indicateurs depuis le panneau Indicators vers chaque construit : QAI1 à QAI5, LEAD1 à LEAD4 et LEAD5_R, SAT1 à SAT4, PERF1 à PERF5. N'utilisez jamais les scores moyens (QAI, LEAD…) comme indicateurs.
  5. Outil Connect : tracez les 5 flèches QAI → SAT, LEAD → SAT, QAI → PERF, LEAD → PERF, SAT → PERF. Enregistrez (Ctrl+S).

Estimer et tester

  1. Calculate › PLS-SEM algorithm : schéma de pondération Path, 3 000 itérations maximum, critère d'arrêt 10−7. Start calculation. Le rapport donne loadings, fiabilité, validité, R², f², VIF et SRMR.
  2. Calculate › Bootstrapping : 5 000 sous-échantillons, Percentile bootstrap, test bilatéral (Two tailed), seuil 0,05. Le rapport donne t, p et intervalles de confiance pour les chemins, les effets indirects spécifiques et le HTMT.
  3. Calculate › PLSpredict : 10 plis (folds), 10 répétitions. Le rapport donne Q²predict, RMSE et MAE, comparés au benchmark linéaire (LM).
  4. Après chaque calcul, exportez le rapport : Export › Export to Excel ou Export to HTML, pour construire vos tableaux.
Ordre de lecture du rapport

Modèle de mesure d'abord (Outer loadings → Construct reliability and validity → Discriminant validity), modèle structurel ensuite (Collinearity statistics → Path coefficients → R-square → f-square → PLSpredict). On ne commente les hypothèses que si la mesure est validée.

05Interpréter les sorties

Étape 1 — Modèle de mesure : fiabilité des indicateurs

Sortie SmartPLS 4
Outer loadings — modèle initial (19 indicateurs)
QAILEADSATPERF
QAI10.837
QAI20.875
QAI30.828
QAI40.367
QAI50.810
LEAD10.801
LEAD20.786
LEAD30.800
LEAD40.792
LEAD5_R0.767
SAT10.861
SAT20.821
SAT30.847
SAT40.808
PERF10.833
PERF20.848
PERF30.824
PERF40.810
PERF50.814

Lecture. Un loading de 0,708 ou plus signifie que le construit explique au moins 50 % de la variance de l'indicateur (0,708² ≈ 0,50). Tous les indicateurs dépassent ce seuil, sauf QAI4 (0,367). Hair et al. (2022) recommandent de supprimer systématiquement un indicateur dont le loading est inférieur à 0,40. QAI4 est donc retiré, ce qui confirme les décisions des modules 3 et 4.

Sortie SmartPLS 4
Outer loadings — modèle final
QAILEADSATPERF
QAI10.849
QAI20.886
QAI30.832
QAI50.825
LEAD10.801
LEAD20.786
LEAD30.800
LEAD40.792
LEAD5_R0.767
SAT10.861
SAT20.820
SAT30.847
SAT40.809
PERF10.833
PERF20.848
PERF30.824
PERF40.810
PERF50.815

Dans le modèle final, les loadings vont de 0,767 (LEAD5_R) à 0,886 (QAI2). Le bootstrap montre qu'ils sont tous significatifs (p < 0,001).

Étape 2 — Fiabilité de cohérence interne et validité convergente

Sortie SmartPLS 4
Construct reliability and validity
Cronbach's alphaComposite reliability (rho_a)Composite reliability (rho_c)Average variance extracted (AVE)
QAI0.8690.8730.9110.719
LEAD0.8480.8520.8920.623
SAT0.8540.8570.9020.697
PERF0.8840.8870.9150.682

Fiabilité : alpha (0,848 à 0,884), rho_A (0,852 à 0,887) et rho_C (0,892 à 0,915) dépassent tous 0,70 sans atteindre 0,95, au-delà duquel on suspecterait des items redondants.

Validité convergente : toutes les AVE dépassent 0,50 (de 0,623 pour LEAD à 0,719 pour QAI). Chaque construit explique plus de la moitié de la variance de ses indicateurs. Pour QAI, la suppression de QAI4 a fait passer l'AVE de 0,589 à 0,719.

Étape 3 — Validité discriminante

Sortie SmartPLS 4
Discriminant validity — Fornell-Larcker criterion
QAILEADSATPERF
QAI0.848
LEAD0.3600.789
SAT0.4290.4480.835
PERF0.4510.3430.5810.826

Fornell-Larcker : la diagonale contient la racine carrée de l'AVE (0,789 à 0,848). Chacune est supérieure aux corrélations du construit avec les autres (au maximum 0,581, entre SAT et PERF). Le critère est respecté (Fornell & Larcker, 1981).

Sortie SmartPLS 4
Discriminant validity — HTMT (avec intervalles de confiance bootstrap)
Original sample (O)2.5%97.5%
LEAD <-> QAI0.4150.2770.543
SAT <-> QAI0.4940.3740.616
SAT <-> LEAD0.5200.3930.630
PERF <-> QAI0.5130.3760.631
PERF <-> LEAD0.3970.2620.520
PERF <-> SAT0.6630.5480.757

HTMT : toutes les valeurs sont inférieures à 0,85 (la plus élevée : 0,663 entre PERF et SAT), et la borne supérieure de chaque intervalle de confiance bootstrap reste sous 0,85 (au maximum 0,758). La validité discriminante est établie selon le critère le plus exigeant (Henseler et al., 2015). C'est ce critère que les évaluateurs privilégient aujourd'hui, Fornell-Larcker manquant de sensibilité.

Sortie SmartPLS 4
Discriminant validity — Cross loadings
QAILEADSATPERF
QAI10.8490.2690.3180.413
QAI20.8860.3660.4230.391
QAI30.8320.3430.3510.355
QAI50.8250.2380.3560.371
LEAD10.2500.8010.3330.276
LEAD20.3570.7860.3860.293
LEAD30.2760.8000.3570.306
LEAD40.2580.7920.3650.249
LEAD5_R0.2710.7670.3180.220
SAT10.3650.4560.8610.490
SAT20.3870.3710.8200.487
SAT30.3690.3350.8470.490
SAT40.3070.3240.8090.473
PERF10.3630.3340.5110.833
PERF20.3670.2720.5210.848
PERF30.3970.1670.5330.824
PERF40.3940.3660.4190.810
PERF50.3390.2930.3950.815

Chaque indicateur a son loading le plus élevé sur son propre construit (cellules surlignées) : les loadings croisés confirment la validité discriminante au niveau des indicateurs.

Étape 4 — Modèle structurel : colinéarité

Sortie SmartPLS 4
Collinearity statistics (VIF) — Inner model
VIF
QAI -> SAT1.149
LEAD -> SAT1.149
QAI -> PERF1.280
LEAD -> PERF1.307
SAT -> PERF1.394

Les VIF internes vont de 1,149 à 1,394, sous le seuil idéal de 3 (Hair et al., 2022) : la colinéarité ne biaise pas les coefficients de chemin.

Étape 5 — Coefficients de chemin et test des hypothèses

Modèle structurel estimé dans SmartPLS (coefficients de chemin standardisés) QAIQualité de l'audit interne LEADLeadership SATR² = 0,283 PERFR² = 0,39 β = 0,307*** β = 0,337*** β = 0,456*** β = 0,236** β = 0,054 (n.s.)
Modèle structurel estimé dans SmartPLS (coefficients de chemin standardisés). *** p < 0,001 ; ** p < 0,01 ; trait pointillé : chemin non significatif. Bootstrap 5 000 sous-échantillons.
Sortie SmartPLS 4
Path coefficients — Mean, STDEV, T values, p values (bootstrap 5 000)
Original sample (O)Sample mean (M)Standard deviation (STDEV)T statistics (|O/STDEV|)P values2.5%97.5%
QAI -> SAT0.3070.3090.0595.2390.0000.1950.424
LEAD -> SAT0.3370.3390.0565.9930.0000.2270.448
QAI -> PERF0.2360.2360.0713.3180.0010.0910.372
LEAD -> PERF0.0540.0550.0620.8680.386-0.0630.178
SAT -> PERF0.4560.4570.0627.3340.0000.3310.574

Lecture. Un chemin est significatif au seuil de 5 % si |t| > 1,96, si p < 0,05 et si l'intervalle [2,5 % ; 97,5 %] exclut 0. Les trois critères concordent toujours ; rapportez-en au moins deux.

H1 : QAI → PERF, β = 0,236, t = 3,32, p = 0,001, IC [0,091 ; 0,372] → validée.

H2 : LEAD → PERF, β = 0,054, t = 0,87, p = 0,386, IC [−0,063 ; 0,178] → rejetée.

H3 : SAT → PERF, β = 0,456, t = 7,33, p < 0,001, IC [0,331 ; 0,574] → validée.

Les chemins QAI → SAT (β = 0,307) et LEAD → SAT (β = 0,337) sont aussi significatifs (p < 0,001) : ce sont les chemins a des médiations.

Sortie SmartPLS 4
Specific indirect effects (bootstrap 5 000)
Original sample (O)Sample mean (M)Standard deviation (STDEV)T statistics (|O/STDEV|)P values2.5%97.5%
QAI -> SAT -> PERF0.1400.1420.0353.9490.0000.0770.213
LEAD -> SAT -> PERF0.1540.1550.0324.7580.0000.0940.223
Sortie SmartPLS 4
Total effects (bootstrap 5 000)
Original sample (O)Sample mean (M)Standard deviation (STDEV)T statistics (|O/STDEV|)P values2.5%97.5%
QAI -> PERF0.3760.3780.0665.6930.0000.2410.502
LEAD -> PERF0.2080.2100.0653.1980.0010.0830.336

H4a : effet indirect QAI → SAT → PERF = 0,140, IC [0,077 ; 0,213], p < 0,001 → validée ; l'effet direct étant significatif, la médiation est complémentaire.

H4b : effet indirect LEAD → SAT → PERF = 0,154, IC [0,094 ; 0,223], p < 0,001 → validée ; sans effet direct significatif, la médiation est indirecte seule.

Les conclusions sont identiques à celles de PROCESS (module 9). Les valeurs diffèrent un peu, car le PLS-SEM travaille sur des scores standardisés et pondérés, alors que PROCESS utilise des moyennes non standardisées. Retrouver les mêmes conclusions par deux méthodes renforce la robustesse des résultats.

Étape 6 — Pouvoir explicatif et taille des effets

Sortie SmartPLS 4
R-square
R-squareR-square adjusted
SAT0.2830.275
PERF0.3900.381
Sortie SmartPLS 4
f-square
f-square
QAI -> SAT0.115
LEAD -> SAT0.138
QAI -> PERF0.071
LEAD -> PERF0.004
SAT -> PERF0.244

R² : le modèle explique 39,0 % de la variance de PERF et 28,3 % de celle de SAT. Selon Chin (1998), ces valeurs sont modérées (seuil de 0,33) pour PERF et faibles à modérées pour SAT ; selon Hair et al. (2011), elles se situent entre faible (0,25) et modéré (0,50). En sciences de gestion, où la performance dépend de nombreux facteurs, un R² de 0,39 est un résultat solide.

f² : SAT a un effet moyen sur PERF (0,244), QAI un effet faible (0,071) ; l'effet de LEAD sur PERF est négligeable (0,004 < 0,02), en cohérence avec le rejet de H2. Sur SAT, QAI (0,115) et LEAD (0,138) ont des effets faibles à moyens.

Étape 7 — Pouvoir prédictif (PLSpredict)

Sortie SmartPLS 4
PLSpredict — LV prediction summary
Q²predictRMSEMAE
SAT0.2650.8620.675
PERF0.2230.8880.725
Sortie SmartPLS 4
PLSpredict — MV prediction summary (10 folds, 10 repetitions)
Q²predictPLS-SEM_RMSELM_RMSEPLS-SEM_MAELM_MAE
SAT10.2360.8820.9110.7070.731
SAT20.1970.9390.9550.7560.772
SAT30.1670.9621.0000.7880.819
SAT40.1300.9590.9840.7940.810
PERF10.1630.9550.9720.7790.794
PERF20.1450.8930.9190.7160.739
PERF30.1250.9710.9880.7770.786
PERF40.1950.8980.9220.7180.743
PERF50.1340.9600.9850.7910.815

Q²predict est positif pour SAT (0,265) et PERF (0,223), ainsi que pour chacun des 9 indicateurs endogènes : le modèle prédit mieux que la moyenne naïve.

Comparaison au benchmark linéaire : pour les 9 indicateurs, le RMSE du modèle PLS est inférieur à celui du modèle LM. Selon Shmueli et al. (2019), le modèle a donc un pouvoir prédictif élevé.

Étape 8 — Ajustement global

Sortie SmartPLS 4
Model fit
Saturated modelEstimated model
SRMR0.0580.058

Le SRMR vaut 0,058, sous le seuil de 0,08 (Hu & Bentler, 1999 ; Henseler et al., 2016). Le modèle structurel reliant tous les construits entre eux, modèle saturé et modèle estimé sont identiques. Hair et al. (2022) rappellent que les indices d'ajustement restent d'un usage limité en PLS-SEM : présentez le SRMR à titre indicatif, sans en faire un critère décisif.

06Seuils de référence

Critères d'évaluation d'un modèle PLS-SEM réflectif
CritèreSeuilSource
Modèle de mesure
Loading≥ 0,708 ; 0,40 à 0,708 : supprimer seulement si cela améliore AVE ou ρC au-delà du seuil ; < 0,40 : supprimerHair et al. (2022)
Alpha, ρA, ρC0,60 à 0,70 acceptable (exploratoire) ; 0,70 à 0,95 satisfaisant ; > 0,95 redondanceHair et al. (2022) ; Dijkstra & Henseler (2015)
AVE≥ 0,50Fornell & Larcker (1981)
Fornell-Larcker√AVE > corrélations avec les autres construitsFornell & Larcker (1981)
HTMT< 0,85 (construits distincts) ; < 0,90 (construits proches) ; borne sup. de l'IC sous ce seuilHenseler, Ringle & Sarstedt (2015)
Modèle structurel
VIF interne< 3 idéal ; ≥ 5 problématiqueHair et al. (2022)
Chemins (bootstrap 5 000)|t| > 1,96 ; p < 0,05 ; IC 95 % excluant 0Hair et al. (2022)
R²0,25 faible ; 0,50 modéré ; 0,75 substantiel (ou 0,19 / 0,33 / 0,67)Hair et al. (2011) ; Chin (1998)
f²0,02 faible ; 0,15 moyen ; 0,35 fortCohen (1988)
Q²predict> 0 : pertinence prédictiveShmueli et al. (2019)
PLSpredictRMSE PLS < RMSE LM pour tous les indicateurs : pouvoir prédictif élevé ; pour la majorité : moyen ; pour une minorité : faibleShmueli et al. (2019)
SRMR< 0,08 (à titre indicatif)Hu & Bentler (1999) ; Henseler et al. (2016)

07Erreurs fréquentes

À éviter
  • Commenter les chemins avant d'avoir validé la mesure.
  • Lire t et p dans le rapport de l'algorithme PLS : ils n'y figurent pas, il faut lancer le bootstrap.
  • Garder un indicateur inversé non recodé : son loading devient négatif.
  • Supprimer un indicateur à 0,65 alors que l'AVE et la fiabilité sont déjà satisfaisantes : Hair et al. ne le recommandent pas.
  • Se contenter de Fornell-Larcker : le HTMT est aujourd'hui attendu.
  • Présenter le SRMR ou le GoF comme preuve que « le modèle est validé » : le GoF n'est pas un indice d'ajustement valable (Henseler & Sarstedt, 2013).
  • Utiliser les 5 000 sous-échantillons sans fixer la graine puis s'étonner que les p changent légèrement : c'est normal, consignez la valeur utilisée.

08Exemple de rédaction pour le mémoire

Rédaction type (style APA)

Le modèle a été estimé par la méthode PLS-SEM avec SmartPLS 4, selon la démarche en deux étapes de Hair et al. (2022). Concernant le modèle de mesure, l'indicateur QAI4 (loading = 0,37) a été supprimé. Les loadings des 18 indicateurs restants sont compris entre 0,77 et 0,89. La fiabilité est satisfaisante pour les quatre construits (α de 0,85 à 0,88 ; ρA de 0,85 à 0,89 ; ρC de 0,89 à 0,92) et les AVE, comprises entre 0,62 et 0,72, attestent la validité convergente. La validité discriminante est établie : la racine carrée de chaque AVE dépasse les corrélations entre construits (Fornell & Larcker, 1981) et tous les HTMT sont inférieurs à 0,85, y compris les bornes supérieures de leurs intervalles de confiance (Henseler et al., 2015).

Concernant le modèle structurel, les VIF (≤ 1,39) écartent tout problème de colinéarité. Le bootstrap (5 000 sous-échantillons) montre que la satisfaction (β = 0,46, t = 7,33, p < 0,001) et la qualité de l'audit interne (β = 0,24, t = 3,32, p = 0,001) influencent positivement la performance, ce qui soutient H3 et H1, tandis que l'effet direct du leadership n'est pas significatif (β = 0,05, t = 0,87, p = 0,386), ce qui conduit à rejeter H2. Les effets indirects via la satisfaction sont significatifs pour la qualité de l'audit interne (β = 0,14, IC 95 % [0,08 ; 0,21]) et pour le leadership (β = 0,15, IC 95 % [0,09 ; 0,22]), soutenant H4a et H4b. Le modèle explique 39 % de la variance de la performance et 28 % de celle de la satisfaction ; les valeurs de Q²predict (0,22 et 0,27) et la comparaison au benchmark linéaire indiquent un pouvoir prédictif élevé (Shmueli et al., 2019).

09Cas pratique

Exercice 1 — Calculer l'AVE

Les loadings de SAT sont 0,861 ; 0,820 ; 0,847 et 0,809. Calculez l'AVE et la fiabilité composite ρC.

Afficher la solution

AVE = (0,741 + 0,672 + 0,717 + 0,654)/4 = 0,696 (0,697 dans SmartPLS, à l'arrondi des loadings près).

Σλ = 3,337 ; (Σλ)² = 11,136 ; Σ(1 − λ²) = 4 − 2,785 = 1,215 ; ρC = 11,136 / 12,351 = 0,902.

Exercice 2 — Fornell-Larcker

L'AVE de LEAD vaut 0,623 et sa corrélation avec SAT vaut 0,448. Le critère est-il respecté pour cette paire ?

Afficher la solution

√0,623 = 0,789 > 0,448 : oui. Il faut aussi vérifier √AVE(SAT) = 0,835 > 0,448, ce qui est le cas.

Exercice 3 — f² à la main

R² de PERF = 0,390. Sans SAT, le R² de PERF tombe à 0,241. Calculez le f² de SAT.

Afficher la solution

\(f^2 = (0{,}390 - 0{,}241)/(1 - 0{,}390) = 0{,}149/0{,}610 = 0{,}244\) : effet moyen, valeur identique à la sortie SmartPLS.

10Quiz du module